在数学领域中，三角函数是解决几何问题和物理现象的重要工具之一。其中，正弦函数（sine）作为最基本的三角函数之一，广泛应用于各种实际场景。今天，我们将聚焦于一个具体的角度——75°，并探讨如何通过公式准确计算其对应的正弦值。

首先，我们需要了解的是，当角度不是特殊值如30°、45°或60°时，通常无法直接从记忆中得出其正弦值。因此，对于非特殊角度的正弦值计算，我们往往需要借助一些基本的三角恒等式来推导。

使用和角公式进行计算

在已知角度75°的情况下，我们可以将其拆分为两个更容易处理的角度之和：即75° = 45° + 30°。接下来，利用三角函数中的和角公式：

\[

\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

\]

将a设为45°，b设为30°代入上述公式：

\[

\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)

\]

根据特殊角的三角函数值：

- \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

代入这些数值后得到：

\[

\sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)

\]

简化表达式：

\[

\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

\]

最终结果为：

\[

\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\]

总结

通过运用和角公式，我们成功地推导出了75°的正弦值。这一过程不仅展示了数学公式的强大之处，也提醒我们在面对复杂问题时，可以通过分解问题的方式来找到解决方案。希望本文能够帮助您更好地理解这一知识点，并激发对数学更深层次的兴趣！