在物理学中，力的合成与分解是理解物体受力情况的重要基础。通过合理的分析和计算，可以更准确地判断物体的运动状态或平衡条件。本文将通过几个典型的例题，详细讲解力的合成与分解的基本方法与应用。
一、力的合成
力的合成是指将多个作用在同一物体上的力，用一个等效的合力来代替的过程。其核心思想是根据矢量加法法则，将各分力按方向进行叠加。
例题1：两个共线力的合成
题目：
一个物体受到两个水平方向的力，分别为F₁ = 5 N向右，F₂ = 3 N向左。求这两个力的合力。
解题过程：
由于两个力方向相反，可设向右为正方向，则：
$$
F_{\text{合}} = F_1 - F_2 = 5 \, \text{N} - 3 \, \text{N} = 2 \, \text{N}
$$
结论：
合力大小为2 N，方向向右。
二、力的分解
力的分解是将一个力按照一定的方向拆分成两个或多个分力的过程。通常用于分析斜面上的物体受力或复杂受力系统的结构。
例题2：斜面上的重力分解
题目：
一个质量为m = 2 kg的物体静止在倾角为θ = 30°的斜面上，求该物体所受重力沿斜面方向和垂直于斜面方向的分力。
已知：
重力 $ g = 9.8 \, \text{m/s}^2 $
解题过程：
重力大小为：
$$
G = m \cdot g = 2 \times 9.8 = 19.6 \, \text{N}
$$
将重力分解为沿斜面方向（$ G_{\parallel} $）和垂直于斜面方向（$ G_{\perp} $）的两个分力：
- 沿斜面方向分力：
$$
G_{\parallel} = G \cdot \sin\theta = 19.6 \cdot \sin(30^\circ) = 19.6 \times 0.5 = 9.8 \, \text{N}
$$
- 垂直于斜面方向分力：
$$
G_{\perp} = G \cdot \cos\theta = 19.6 \cdot \cos(30^\circ) = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.0 \, \text{N}
$$
结论：
重力沿斜面方向的分力为9.8 N，垂直方向的分力约为17.0 N。
三、力的合成与分解综合应用
例题3：两个成角度的力合成
题目：
一个物体同时受到两个力的作用，F₁ = 10 N，方向水平向右；F₂ = 15 N，方向与水平方向成60°夹角。求这两个力的合力。
解题过程：
将F₂分解为水平和竖直方向的分量：
- 水平方向分量：
$$
F_{2x} = F_2 \cdot \cos(60^\circ) = 15 \times 0.5 = 7.5 \, \text{N}
$$
- 竖直方向分量：
$$
F_{2y} = F_2 \cdot \sin(60^\circ) = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.99 \, \text{N}
$$
总合力的水平分量：
$$
F_x = F_1 + F_{2x} = 10 + 7.5 = 17.5 \, \text{N}
$$
竖直方向分量：
$$
F_y = F_{2y} = 12.99 \, \text{N}
$$
合力大小：
$$
F_{\text{合}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(17.5)^2 + (12.99)^2} \approx \sqrt{306.25 + 168.74} \approx \sqrt{474.99} \approx 21.8 \, \text{N}
$$
合力方向：
$$
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{F_y}{F_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{12.99}{17.5}\right) \approx \tan^{-1}(0.742) \approx 36.6^\circ
$$
结论：
合力大小约为21.8 N，方向与水平方向成约36.6°夹角。
四、总结
力的合成与分解是力学分析中的基本技能，掌握好这些方法有助于解决实际问题。无论是简单的共线力，还是复杂的多向力，都可以通过矢量运算进行有效处理。通过以上例题的分析，希望读者能够更好地理解力的合成与分解的原理与应用。
