【狄利克雷函数的表达式】狄利克雷函数是数学中一个经典的非连续函数，以其特殊的定义方式和性质在分析学中具有重要意义。它由德国数学家彼得·古斯塔夫·勒让德·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）提出，常用于构造反例或说明某些数学概念。
一、狄利克雷函数的定义
狄利克雷函数通常定义如下：
$$
D(x) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } x \in \mathbb{Q} \\
0, & \text{如果 } x \notin \mathbb{Q}
\end{cases}
$$
其中，$\mathbb{Q}$ 表示有理数集，$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 表示无理数集。
也就是说，当自变量 $x$ 是有理数时，函数值为1；当 $x$ 是无理数时，函数值为0。
二、狄利克雷函数的特点
1. 不连续性：该函数在任何一点都不连续，因为无论在有理数还是无理数附近，函数值都会发生突变。
2. 不可积性：在通常意义下，狄利克雷函数不是黎曼可积的，但在勒贝格积分中可以被定义。
3. 周期性：该函数是周期函数，其周期为任意有理数。
4. 非初等函数：它不能用基本初等函数表示，属于一种“病态”函数。
三、狄利克雷函数的表达式总结
| 特性 | 描述 |
| 定义域 | $\mathbb{R}$ |
| 值域 | $\{0, 1\}$ |
| 函数形式 | 分段函数 |
| 连续性 | 在任何点都不连续 |
| 可积性 | 黎曼不可积，勒贝格可积 |
| 周期性 | 周期为任意有理数 |
| 是否初等函数 | 否 |
四、应用与意义
尽管狄利克雷函数在实际计算中很少直接使用，但它在数学理论中具有重要价值：
- 用于说明函数连续性和可积性的区别；
- 作为构造反例的工具，帮助理解分析学中的极限、收敛等概念；
- 在数学教育中，常用来展示函数的“奇异性”。
通过以上内容可以看出，狄利克雷函数虽然形式简单，但其背后蕴含着深刻的数学思想，是学习实变函数论和数学分析的重要参考对象。
