【二进制算法公式和示例】二进制是计算机系统中最基本的数制，由0和1两个数字组成。在计算机科学中，二进制广泛用于数据存储、逻辑运算和信息处理。了解二进制的基本算法公式及其应用示例，有助于更好地理解计算机的工作原理。
一、二进制基础概念
二进制是一种以2为基数的计数系统，每一位代表一个2的幂次方。例如：
- 二进制数：`1011`
- 对应十进制数：`1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11`
二、常见二进制算法公式
| 算法名称 | 公式/操作方式 | 说明 | ||||
| 二进制转十进制 | $ \sum_{i=0}^{n} b_i \times 2^i $ | 每位乘以2的相应次方后求和 | ||||
| 十进制转二进制 | 除以2取余，倒序排列余数 | 不断除以2，记录余数 | ||||
| 二进制加法 | 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10（进位） | 类似十进制加法，但进位为2 | ||||
| 二进制减法 | 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1=1（借位） | 需要借位处理，类似十进制减法 | ||||
| 二进制与运算 | 0 & 0 = 0, 0 & 1 = 0, 1 & 0 = 0, 1 & 1 = 1 | 只有同为1时结果为1 | ||||
| 二进制或运算 | 0 | 0 = 0, 0 | 1 = 1, 1 | 0 = 1, 1 | 1 = 1 | 只要有一个为1结果为1 |
| 二进制异或运算 | 0 ^ 0 = 0, 0 ^ 1 = 1, 1 ^ 0 = 1, 1 ^ 1 = 0 | 相同为0，不同为1 |
三、二进制算法示例
示例1：二进制转十进制
二进制数：`1101`
计算过程：
$ 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 $
示例2：十进制转二进制
十进制数：`15`
计算过程：
15 ÷ 2 = 7 余 1
7 ÷ 2 = 3 余 1
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1
二进制数：`1111`
示例3：二进制加法
加数：`1011` + `0110`
计算过程：
```
1011
+ 0110
-
10001
```
结果：`10001`（即十进制的17）
示例4：二进制与运算
操作数：`1100` & `1011`
计算过程：
```
1100
& 1011
-
1000
```
结果：`1000`
示例5：二进制异或运算
操作数：`1101` ^ `1010`
计算过程：
```
1101
^ 1010
-
0111
```
结果：`0111`（即十进制的7）
四、总结
二进制算法是计算机运行的基础，掌握其基本公式和运算规则对于编程、数据处理和逻辑设计都具有重要意义。通过上述表格和示例，可以更直观地理解二进制的转换方法和逻辑运算方式。实际应用中，二进制不仅用于数值表示，还广泛应用于加密、网络协议、图像处理等多个领域。
