【两个空间向量叉乘公式】在三维几何中，向量的叉乘（也称为向量积或外积）是一个非常重要的运算，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。叉乘的结果是一个与原向量垂直的新向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
以下是对两个空间向量叉乘公式的总结与展示。
一、基本概念
设两个空间向量为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
它们的叉乘记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，结果是一个新的向量，其方向垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所确定的平面。
二、叉乘公式
叉乘的计算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以表示为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 结果类型 | 向量 | ||||||
| 方向 | 垂直于两个原始向量所在的平面，遵循右手定则 | ||||||
| 大小 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角 | |
| 交换律 | 不满足：$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 分配律 | 满足：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 与标量乘法 | $(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$ |
四、实际应用示例
假设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6,\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
五、总结
叉乘是处理三维空间中向量关系的重要工具，它不仅能够给出垂直于两个向量的方向，还能通过模长反映两个向量之间的“夹角”信息。掌握叉乘的计算方式和性质，有助于更深入地理解空间几何问题，并在实际应用中发挥关键作用。
