【等比数列公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。这个不变的比值称为公比（记作 $ q $）。等比数列广泛应用于数学、物理、金融等多个领域，掌握其基本公式对于理解和解决相关问题至关重要。

一、等比数列的基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比值都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

- 通项公式：

设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

- 求和公式：

等比数列的前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)

$$

当 $ q < 1 $ 时，若 $ n \to \infty $，则无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - q}

$$

二、常用公式总结

以下是对等比数列主要公式的总结：

三、应用举例

例如，已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第 5 项和前 5 项的和：

- 第 5 项：

$$

a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162

$$

- 前 5 项和：

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

四、注意事项

- 若公比 $ q = 1 $，则所有项都相等，此时数列为常数列，求和公式不适用，应直接计算。

- 在实际问题中，需根据题意判断是否使用有限项和或无限项和。

- 注意区分等差数列与等比数列的不同之处，避免混淆公式。

通过掌握这些公式和应用方法，可以更高效地处理与等比数列相关的数学问题。理解其背后的逻辑，有助于提升解题能力与数学思维水平。