【点到直线的距离公式推导过程】在解析几何中，点到直线的距离是一个非常基础且重要的概念。它不仅用于计算几何问题，还在物理、工程等领域有广泛应用。本文将对“点到直线的距离公式”的推导过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤和公式。

一、公式概述

点 $ P(x_0, y_0) $ 到直线 $ ax + by + c = 0 $ 的距离 $ d $ 公式为：

$$

d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}

$$

该公式是通过向量投影、几何关系以及代数运算等方法推导得出的。

二、推导过程总结（文字版）

1. 设定坐标系与点、直线

假设点 $ P(x_0, y_0) $ 和直线 $ L: ax + by + c = 0 $ 在二维平面内。

2. 确定直线的方向向量与法向量

直线 $ L $ 的方向向量可以取为 $ \vec{v} = (b, -a) $，而法向量为 $ \vec{n} = (a, b) $。

3. 构造从点 $ P $ 到直线 $ L $ 的垂线段

点 $ P $ 到直线 $ L $ 的最短距离就是从点 $ P $ 向直线作垂线所形成的线段长度。

4. 利用向量投影公式

设直线上的任意一点为 $ Q(x_1, y_1) $，则向量 $ \vec{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) $。

将 $ \vec{PQ} $ 投影到法向量 $ \vec{n} $ 上，得到投影长度，即为点到直线的距离。

5. 代入公式并化简

最终经过代数运算，得到点到直线的距离公式：

$$

d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}

$$

三、推导关键步骤对比表

四、结论

点到直线的距离公式是解析几何中的重要工具，其推导过程融合了向量、投影、代数等多种数学思想。通过上述推导，我们可以清晰地理解公式的来源及其应用条件。

如需进一步了解该公式在不同情境下的应用或拓展内容，可继续探讨。