【基础解系怎么求】在线性代数中，基础解系是齐次线性方程组的解空间的一组极大线性无关组。它能够表示该方程组的所有解。因此，掌握如何求基础解系是非常重要的。
下面将从定义、步骤、方法等方面进行总结，并以表格形式展示关键内容。
一、基础解系的定义
| 概念 | 定义 |
| 齐次线性方程组 | 形如 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 的方程组，其中 $ A $ 是系数矩阵，$ \mathbf{x} $ 是未知数向量，$ \mathbf{0} $ 是零向量 |
| 解空间 | 所有满足该方程组的解构成的集合 |
| 基础解系 | 解空间中的一组极大线性无关向量组，可以用来表示整个解空间 |
二、基础解系的求法步骤
以下是求基础解系的基本流程：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将齐次方程组写成矩阵形式，即 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ |
| 2 | 对系数矩阵 $ A $ 进行初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵（RREF） |
| 3 | 确定主变量和自由变量（即非主元对应的变量） |
| 4 | 将每个自由变量分别设为1或0，其他变量用主变量表示，得到一组特解 |
| 5 | 这些特解组成的基础解系即为所求 |
三、具体示例说明
假设我们有以下齐次方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
将其写成矩阵形式：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
对矩阵 $ A $ 进行行变换，最终得到：
$$
\text{RREF}(A) =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
此时，主变量为 $ x_1, x_3 $，自由变量为 $ x_2 $。
令 $ x_2 = t $，则：
- $ x_1 = -t $
- $ x_3 = 0 $
所以通解为：
$$
\mathbf{x} = t \cdot
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\right\}
$$
四、总结表
| 项目 | 内容 |
| 目标 | 求齐次方程组的解空间的一组极大线性无关组 |
| 方法 | 行变换 → 确定主变量与自由变量 → 构造特解 |
| 关键点 | 自由变量赋值、主变量表达式、线性无关性验证 |
| 应用 | 解空间的表示、矩阵的秩分析、线性相关性判断 |
通过以上步骤和方法，我们可以系统地求出一个齐次线性方程组的基础解系。理解其原理有助于进一步学习线性代数中的矩阵理论和向量空间等内容。
