【极限函数lim重要公式】在数学分析中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，尤其是在微积分和高等数学中具有基础性地位。理解并掌握极限的常见公式与性质，对于学习导数、积分以及函数的连续性等内容至关重要。本文将总结一些常见的极限函数（lim）重要公式，并以表格形式进行归纳整理。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数函数的极限为常数本身 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其极限为其值 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的经典极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限公式 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限公式 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数 $e$ 的定义极限 |
二、无穷小量与无穷大量比较
| 极限类型 | 表达式 | 说明 |
| 无穷小量乘以有界函数 | $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = 0$（若 $f(x) \to 0$, $g(x)$ 有界） | 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 |
| 无穷大与无穷大的差 | $\lim_{x \to a} (f(x) - g(x))$ | 需具体分析，可能为无穷大、有限值或不定型 |
| 无穷小量与无穷大的关系 | $\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = \infty$（若 $f(x) \to 0$） | 无穷小的倒数为无穷大 |
三、洛必达法则（L’Hospital’s Rule）
适用于以下形式的未定型极限：
| 未定型 | 应用条件 | 举例 |
| $\frac{0}{0}$ | $f(x) \to 0, g(x) \to 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | $f(x) \to \infty, g(x) \to \infty$ | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ |
| $0 \cdot \infty$ | 转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ |
四、泰勒展开与极限计算
| 函数 | 泰勒展开式（在 $x=0$ 处） | 极限应用 |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ | 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ |
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots$ | 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ |
五、常用极限结论
| 极限表达式 | 结果 |
| $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 定义 $e$ 的另一种方式 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ | 扩展形式 |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$（对任意常数 $a$） | 指数增长远快于阶乘增长 |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{n^p}{a^n} = 0$（$a > 1, p > 0$） | 指数函数增长速度更快 |
总结
极限是数学分析的核心概念之一，掌握其基本公式和常见技巧有助于解决复杂的函数问题。通过对极限公式的系统归纳，可以更高效地理解和应用极限理论。无论是初学者还是进阶学习者，都应该重视极限的基本性质与典型例题的训练，从而打下扎实的数学基础。
