【久期和凸性计算公式】在固定收益证券分析中，久期和凸性是衡量债券价格对利率变动敏感性的两个重要指标。它们可以帮助投资者评估债券的利率风险，并在构建投资组合时做出更合理的决策。
一、久期（Duration）
久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。它表示的是债券未来现金流的加权平均时间，权重为各期现金流的现值占总现值的比例。
1. 麦考利久期（Macaulay Duration）
麦考利久期是最早提出的久期概念，适用于付息债券。其计算公式如下：
$$
D_{\text{Macaulay}} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + r)^t}}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流（包括利息和本金）
- $ r $：市场利率或折现率
- $ n $：债券剩余期限（以期为单位）
2. 修正久期（Modified Duration）
修正久期是对麦考利久期的调整，用于估算债券价格对收益率变化的百分比变动。其计算公式为：
$$
D_{\text{Modified}} = \frac{D_{\text{Macaulay}}}{1 + \frac{r}{m}}
$$
其中：
- $ m $：每年付息次数（如半年付息一次则 $ m = 2 $）
二、凸性（Convexity）
凸性是对久期的一个补充指标，用于衡量债券价格对利率变动的非线性反应。由于久期假设价格与利率呈线性关系，而实际上这种关系是非线性的，因此需要凸性来更准确地预测价格变化。
1. 凸性公式
凸性的计算公式如下：
$$
C = \frac{\sum_{t=1}^{n} t(t + 1) \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^{t + 2}}}{P}
$$
其中：
- $ P $：债券当前价格
- 其他变量同上
三、总结对比表
| 指标 | 定义 | 公式 | 用途 |
| 麦考利久期 | 现金流加权平均到期时间 | $ D_{\text{Macaulay}} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + r)^t}} $ | 衡量债券价格对利率变化的敏感度 |
| 修正久期 | 对麦考利久期的调整 | $ D_{\text{Modified}} = \frac{D_{\text{Macaulay}}}{1 + \frac{r}{m}} $ | 更精确地估计价格对利率变化的百分比变化 |
| 凸性 | 衡量价格与利率之间的非线性关系 | $ C = \frac{\sum_{t=1}^{n} t(t + 1) \cdot \frac{C_t}{(1 + r)^{t + 2}}}{P} $ | 修正久期的误差，提高预测准确性 |
四、应用建议
在实际操作中，投资者应结合久期和凸性进行综合分析。通常情况下：
- 久期越长，债券对利率变动越敏感；
- 凸性越高，债券价格对利率变化的非线性反应越强，有助于降低利率波动带来的风险。
通过合理配置不同久期和凸性的债券，可以有效管理投资组合的利率风险，实现更稳健的投资回报。
