【偏导数基本公式】在多元函数的微积分中，偏导数是一个重要的概念，用于描述函数在某一变量方向上的变化率。对于一个具有多个自变量的函数，我们可以通过对其中一个变量求导，而将其他变量视为常数，从而得到该变量的偏导数。以下是对偏导数基本公式的总结与归纳。
一、偏导数定义
设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处可导，则对 $ x $ 的偏导数为：
$$
f_x(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
同理，对 $ y $ 的偏导数为：
$$
f_y(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
二、常见函数的偏导数公式
以下是几种常见函数的偏导数公式，适用于多变量函数中的各个变量。
| 函数形式 | 对 $ x $ 的偏导数 | 对 $ y $ 的偏导数 |
| $ f(x, y) = c $（常数） | 0 | 0 |
| $ f(x, y) = x $ | 1 | 0 |
| $ f(x, y) = y $ | 0 | 1 |
| $ f(x, y) = x^n $（n 为常数） | $ n x^{n-1} $ | 0 |
| $ f(x, y) = y^n $ | 0 | $ n y^{n-1} $ |
| $ f(x, y) = x + y $ | 1 | 1 |
| $ f(x, y) = xy $ | $ y $ | $ x $ |
| $ f(x, y) = \sin(x) $ | $ \cos(x) $ | 0 |
| $ f(x, y) = \sin(y) $ | 0 | $ \cos(y) $ |
| $ f(x, y) = e^x $ | $ e^x $ | 0 |
| $ f(x, y) = e^y $ | 0 | $ e^y $ |
| $ f(x, y) = \ln(x) $ | $ \frac{1}{x} $ | 0 |
| $ f(x, y) = \ln(y) $ | 0 | $ \frac{1}{y} $ |
三、偏导数的运算规则
1. 和差法则：
若 $ f = u \pm v $，则：
$$
f_x = u_x \pm v_x,\quad f_y = u_y \pm v_y
$$
2. 乘积法则：
若 $ f = uv $，则：
$$
f_x = u_x v + u v_x,\quad f_y = u_y v + u v_y
$$
3. 商法则：
若 $ f = \frac{u}{v} $，则：
$$
f_x = \frac{u_x v - u v_x}{v^2},\quad f_y = \frac{u_y v - u v_y}{v^2}
$$
4. 链式法则：
若 $ z = f(x, y) $，且 $ x = g(t), y = h(t) $，则：
$$
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
$$
四、总结
偏导数是研究多元函数局部变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握基本的偏导数公式和运算规则，有助于更深入地理解多元函数的行为，并为后续学习全导数、梯度、方向导数等概念打下坚实基础。
通过上述表格和说明，可以系统地了解偏导数的基本公式及其应用方法，帮助提高数学分析能力和问题解决能力。
