【向量叉乘的公式】向量叉乘是三维空间中一种重要的运算，常用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。它能够计算出两个向量所形成的平面的法向量，具有方向性和大小性。以下是对向量叉乘公式的总结与分析。
一、基本概念
向量叉乘（Cross Product）是指在三维空间中，对两个向量进行的一种二元运算，结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量所在的平面，大小等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘记为 a × b，其结果是一个向量 c = (c₁, c₂, c₃)。
二、叉乘公式
向量叉乘的计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成分量形式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left(
a_2b_3 - a_3b_2, \quad
a_3b_1 - a_1b_3, \quad
a_1b_2 - a_2b_1
\right)
$$
三、叉乘的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | a × b = - (b × a) | ||||||
| 2. 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c | ||||||
| 3. 数乘结合律 | k(a × b) = (ka) × b = a × (kb) | ||||||
| 4. 零向量 | a × a = 0 | ||||||
| 5. 垂直性 | a × b 与 a 和 b 均垂直 | ||||||
| 6. 模长 | a × b | = | a | b | sinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角 |
四、叉乘的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 物理学 | 计算力矩、角动量等 |
| 工程学 | 结构分析、应力计算 |
| 计算机图形学 | 确定法向量、光照计算 |
| 几何学 | 判断点是否在平面上、计算面积等 |
五、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left(
2×6 - 3×5, \quad
3×4 - 1×6, \quad
1×5 - 2×4
\right) =
(12 - 15, \quad 12 - 6, \quad 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
六、表格总结
| 项目 | 内容 | ||||
| 名称 | 向量叉乘 | ||||
| 运算符号 | × | ||||
| 输入 | 两个三维向量 | ||||
| 输出 | 一个三维向量 | ||||
| 公式 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $ | ||||
| 方向 | 垂直于原两向量所在的平面 | ||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sinθ $ | |
| 主要性质 | 反交换性、分配律、数乘结合律等 | ||||
| 应用 | 力学、图形学、几何计算等 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解向量叉乘的基本公式及其应用。掌握这一运算对于进一步学习三维空间中的数学和物理问题具有重要意义。
