【向量积怎么求】向量积，也称为叉积（Cross Product），是两个向量在三维空间中的一种乘法运算方式。它不仅涉及到大小，还涉及到方向，其结果是一个与原两个向量都垂直的新向量。向量积在物理、工程和计算机图形学中有着广泛的应用。

一、向量积的基本概念

向量积的定义如下：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个向量，其方向由右手定则决定，大小为 absinθ（θ 为两向量夹角）。

向量积的结果是一个新的向量，记作 c = a × b，其中：

- c 的模长：c = absinθ

- c 的方向：垂直于 a 和 b 所在的平面，方向由右手螺旋法则确定

二、向量积的计算方法

向量积的计算可以通过行列式的方式进行，也可以通过分量展开的方式进行。

方法一：行列式法

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后得到：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

方法二：分量计算法

若已知向量 a 和 b 的分量，则可以直接代入以下公式计算：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{bmatrix}

a_2b_3 - a_3b_2 \\

a_3b_1 - a_1b_3 \\

a_1b_2 - a_2b_1

\end{bmatrix}

$$

三、向量积的性质总结

四、实际应用举例

例如，已知向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{bmatrix}

(2×6 - 3×5) \\

(3×4 - 1×6) \\

(1×5 - 2×4)

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

12 - 15 \\

12 - 6 \\

5 - 8

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-3 \\

6 \\

-3

\end{bmatrix}

$$

因此，a × b = (-3, 6, -3)

五、注意事项

- 向量积只适用于三维空间中的向量；

- 在二维空间中，可以将向量视为 z 分量为 0 的三维向量进行计算；

- 向量积的方向需要特别注意，不能随意调换顺序；

- 计算时要仔细检查符号，避免出错。

总结

向量积是向量运算中非常重要的一个概念，尤其在涉及旋转、力矩、磁场等物理问题中广泛应用。掌握其计算方法和性质，有助于更深入地理解向量之间的关系及其在实际问题中的应用。