【arctanx的不定积分怎么求】在微积分中，求解函数的不定积分是一项基本而重要的技能。对于反三角函数如 $ \arctan x $ 的不定积分，虽然其形式看似简单，但实际计算过程中需要运用一些技巧，比如分部积分法和变量替换等。本文将系统地总结如何求 $ \arctan x $ 的不定积分，并以表格形式清晰展示关键步骤与结果。

一、不定积分的基本思路

要求 $ \int \arctan x \, dx $，我们可以使用分部积分法（Integration by Parts）：

分部积分公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们令：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则有：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入分部积分公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，我们需要计算 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $，这个积分可以通过变量替换法来解决。

二、变量替换法求解 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x \, dx $，即 $ x \, dx = \frac{dt}{2} $

代入后得：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、最终结果

将上述结果代回原式，得到：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

四、关键步骤总结表

五、小结

通过分部积分法结合变量替换，可以有效地求出 $ \arctan x $ 的不定积分。该过程不仅展示了微积分中常见的积分技巧，也体现了数学推导的逻辑性和严谨性。掌握这类积分方法，有助于进一步理解和应用更复杂的积分问题。