【怎么求点到平面的距离】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理和工程等领域。理解如何计算点到平面的距离，有助于解决许多实际问题。以下是对这一问题的总结与归纳。

一、基本概念

- 点：在三维空间中的一个坐标 (x₀, y₀, z₀)。

- 平面：由一般方程表示为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 是平面的法向量分量，D 是常数项。

- 点到平面的距离：指从该点垂直投影到平面上的最短距离。

二、公式推导与应用

点到平面的距离可以通过以下公式直接计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ (x_0, y_0, z_0) $ 是点的坐标；

- $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 是平面的方程；

- 分母是法向量的模长（即方向向量的长度）。

三、步骤总结

以下是求点到平面距离的具体步骤：

四、实例说明

例题：

已知点 P(1, 2, 3)，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 12 = 0 $，求点 P 到该平面的距离。

解法：

1. 点 P 坐标为 (1, 2, 3)

2. 平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 12 = 0 $

3. 代入公式：

$$

d = \frac{2×1 - 3×2 + 6×3 - 12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}

$$

答案：点 P 到该平面的距离为 $ \frac{2}{7} $。

五、注意事项

- 如果平面方程不是标准形式（如没有常数项），需要先整理成 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的形式。

- 若点在平面上，则距离为 0。

- 法向量的方向不影响距离的大小，只影响符号，因此取绝对值。

通过以上方法，可以快速准确地计算出点到平面的距离。掌握这一方法，对理解三维几何问题具有重要意义。