【转动惯量怎么求】转动惯量是描述物体绕某一轴旋转时，其惯性大小的物理量。在物理学和工程学中，转动惯量对于分析刚体的旋转运动至关重要。不同的物体形状和质量分布会导致不同的转动惯量值。本文将总结常见的几种典型物体的转动惯量计算方法，并以表格形式进行归纳，便于查阅与理解。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 I 表示，单位为 kg·m²。它与物体的质量分布有关，质量越远离转轴，转动惯量越大。公式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中：
- $ m_i $ 是质点的质量；
- $ r_i $ 是该质点到转轴的距离。
对于连续分布的物体，公式变为积分形式：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常见物体的转动惯量公式
以下是几种常见几何体绕特定轴的转动惯量公式，适用于均匀密度的刚体。
| 物体类型 | 转轴位置 | 公式 | 单位 |
| 均匀细杆 | 绕中心轴（垂直于杆） | $ I = \frac{1}{12} m L^2 $ | kg·m² |
| 均匀细杆 | 绕一端轴（垂直于杆） | $ I = \frac{1}{3} m L^2 $ | kg·m² |
| 实心圆柱体 | 绕中心轴（垂直于底面） | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | kg·m² |
| 空心圆柱体 | 绕中心轴（垂直于底面） | $ I = \frac{1}{2} m (R_1^2 + R_2^2) $ | kg·m² |
| 实心球体 | 绕通过球心的轴 | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | kg·m² |
| 空心球壳 | 绕通过球心的轴 | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | kg·m² |
| 圆环 | 绕中心轴（垂直于平面） | $ I = m R^2 $ | kg·m² |
| 长方体 | 绕对称轴（中心轴） | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | kg·m² |
三、注意事项
1. 转轴的选择：转动惯量依赖于转轴的位置，同一物体绕不同轴的转动惯量不同。
2. 平行轴定理：若已知某物体绕其质心的转动惯量 $ I_{\text{cm}} $，则绕另一平行轴的转动惯量为：
$$
I = I_{\text{cm}} + m d^2
$$
其中 $ d $ 是两轴之间的距离。
3. 对称性利用：对称性强的物体可简化计算，例如球体、圆柱体等。
四、总结
转动惯量是描述物体旋转惯性的关键参数，其计算依赖于物体的质量分布和转轴位置。对于常见几何体，已有标准公式可供直接应用。实际问题中，常需结合平行轴定理或积分法进行复杂结构的计算。掌握这些基础内容，有助于更深入地理解刚体动力学问题。
附表：常用转动惯量公式汇总表
| 物体名称 | 转轴位置 | 转动惯量公式 |
| 细杆（中心轴） | 垂直于杆并通过中点 | $ \frac{1}{12} m L^2 $ |
| 细杆（端点轴） | 垂直于杆并通过端点 | $ \frac{1}{3} m L^2 $ |
| 实心圆柱体 | 中心轴 | $ \frac{1}{2} m R^2 $ |
| 空心圆柱体 | 中心轴 | $ \frac{1}{2} m (R_1^2 + R_2^2) $ |
| 实心球体 | 通过球心轴 | $ \frac{2}{5} m R^2 $ |
| 空心球壳 | 通过球心轴 | $ \frac{2}{3} m R^2 $ |
| 圆环 | 通过中心轴 | $ m R^2 $ |
| 长方体 | 对称轴 | $ \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ |
