【向量积公式怎么算】在数学和物理中，向量积（也称为叉积）是一种重要的运算方式，常用于三维空间中计算两个向量之间的垂直方向和大小。本文将详细讲解向量积的定义、计算方法以及相关性质，并通过表格形式进行总结。
一、什么是向量积？
向量积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个新的向量，该向量与原两个向量都垂直。向量积通常用符号“×”表示，例如：
$$
\vec{a} \times \vec{b}
$$
向量积的结果具有方向和大小，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即：
$$
$$
其中，θ 是两个向量之间的夹角。
二、向量积的计算方法
设两个向量为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
则它们的向量积为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后得到：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成分量形式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 |
| 1. 非交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| 2. 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 3. 与标量相乘 | $(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$ |
| 4. 与自身相乘 | $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ |
| 5. 垂直性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直 |
四、应用实例
假设：
$$
\vec{a} = (1, 2, 3), \quad \vec{b} = (4, 5, 6)
$$
计算 $\vec{a} \times \vec{b}$：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6,\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
五、总结表
| 项目 | 内容 | ||||||
| 向量积定义 | 两个向量的乘积，结果为一个与原两向量垂直的新向量 | ||||||
| 计算公式 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||||||
| 大小公式 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | |
| 方向判断 | 由右手定则确定 | ||||||
| 特点 | 非交换、分配律、与自身相乘为零 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解向量积的计算方式及其应用，掌握这一基础数学工具对于学习物理、工程和计算机图形学等领域都非常关键。
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