【向量投影公式】在向量运算中，向量投影是一个重要的概念，它用于描述一个向量在另一个向量方向上的“影子”或“分量”。通过投影公式，我们可以快速计算出一个向量在指定方向上的投影长度或投影向量。以下是关于向量投影公式的详细总结。

一、基本概念

- 向量投影：将一个向量沿着另一个向量的方向进行投影，得到的是该向量在该方向上的分量。

- 投影长度：表示投影的大小（标量）。

- 投影向量：表示投影的实际向量形式。

二、向量投影公式

设两个向量为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，其中 $\vec{b} \neq \vec{0}$，则：

1. 投影长度公式（标量投影）

$$

\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b}}

$$

- $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 表示向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的点积；

- $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{b}$ 的模长。

2. 投影向量公式（矢量投影）

$$

\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b}^2} \right) \vec{b}

$$

- 该公式给出了向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量。

三、应用场景

四、举例说明

例题：已知 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影长度和投影向量。

解：

1. 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11$

2. 模长：$\vec{b} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

3. 投影长度：$\frac{11}{\sqrt{5}} \approx 4.92$

4. 投影向量：$\left( \frac{11}{(\sqrt{5})^2} \right) \vec{b} = \left( \frac{11}{5} \right)(1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)$

五、总结对比表

通过掌握向量投影公式，我们可以在多个领域中更高效地处理向量问题，提升对空间关系的理解与应用能力。