【向量相乘公式】在数学中，向量相乘是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。根据不同的运算规则，向量相乘可以分为两种主要形式：点积（数量积） 和 叉积（向量积）。以下是对这两种向量相乘公式的总结与对比。
一、点积（数量积）
点积是两个向量之间的标量运算，其结果是一个数值。点积常用于计算两个向量之间的夹角或投影。
定义公式：
设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的点积为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
几何意义：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} =
$$
其中，$
二、叉积（向量积）
叉积是两个向量之间的向量运算，其结果是一个与原两向量都垂直的新向量。叉积常用于计算面积、力矩等。
定义公式：
设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的叉积为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
几何意义：
叉积向量的模长为：
$$
$$
方向由右手定则确定，与两向量所在的平面垂直。
三、点积与叉积对比表
| 特征 | 点积（数量积） | 叉积（向量积） |
| 运算结果 | 标量（数值） | 向量（三维空间中的向量） |
| 定义方式 | 分量乘积之和 | 行列式展开法 |
| 几何意义 | 两向量夹角的余弦值乘以模长积 | 两向量所形成的平行四边形面积 |
| 方向性 | 无方向（仅大小） | 有方向（垂直于两向量所在平面） |
| 应用场景 | 投影、夹角、功、能量等 | 力矩、旋转、磁场等 |
| 是否满足交换律 | 满足（$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$） | 不满足（$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$） |
通过上述总结可以看出，点积和叉积虽然都是向量间的乘法运算，但它们在性质、结果和应用上有着显著的不同。理解这两种运算的原理与区别，有助于更好地解决实际问题。
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